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Amigo Oculto e Análise Combinatória.

April 2, 2013

Olá a todos.

Que tal tornar a ingênua brincadeira do AMIGO OCULTO em algo, matematicamente, interessante?

Para isso pergunto a vocês…

QUAL A PROBABILIDADE “P” DE QUE N ALUNOS POSSAM SORTEAR, ALEATORIAMENTE, N ENVELOPES, DE MODO QUE NENHUM DELES SORTEIE A SI MESMO?

 

Bom… para isso vamos introduzir o conceito de Permutação Caótica.

Permutação Caótica são permutações dos componentes de uma sequência de elementos em que nenhum deles mantém sua posição original.

  • Para resolver o problema acima vamos iniciar com um número pequeno: por exemplo, 3 alunos – a, b e c.
  • As possíveis formas de sorteio seriam <abc>, <acb>, <bac>, <bca>, <cab>, <cba>; ou seja de 6 formas distintas (ou seja 3! = 3.2.1 = 6).
  • No entanto, somente duas das seis formas respondem ao que foi solicitado. São elas <bca> e <cab>.

Uma fórmula que define uma permutação caótica seria:

 

 

pcao

 

  • Portanto, acreditem: em um amigo oculto com um número, singelo, de 12 alunos, por exemplo, existem 479.001.600 possibilidades de sorteio, das quais em 176.214.841 nenhum deles receberá um “cartãozinho” com seu próprio nome.

 

  • Logo a probabilidade “P” será de:

probpcao

 

Agora…rs….o mais fantástico! Se fizermos uma planilha (eletrônica) variando o número de alunos teremos a seguinte tabela:

tab_cao

 

Pois é…. analisando a tabela, observamos que à medida que o número de participantes do amigo oculto aumenta, o valor da probabilidade se aproxima do valor 1/e; onde “e” é o conhecido número de Euller, vinculado ao logaritmo natural!!!

A matemática e seus maravilhosos mistérios…

 

Um abraço a todos!

 

FONTE:

SCIENTIFIC AMERICAN (BRASIL) ; ANO II – NÚMERO 12

http://www.dme.ufcg.edu.br/pet/arquivos/o_problema_das_cartas_mal_enderecadas_de_nicolaus_bernoulli_e_euler.pdf

 

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